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一些常见模型类型与分类的初步讨论

Author: 余彤鹰,  Source: 企业工程论坛,  Published: 2010-06-11

Excerpt: 讨论了一些常见的模型类型,例如比例模型或实物模型、物理模型、数学模型、理论模型,以及图像作为模型、描述性模型或语言性模型、数理逻辑(模型论)的模型、同态模型等。可以看到,模型在不同语境中可能有相当不同的含义,不同的分类,常常相互重叠甚至矛盾,但仍然有可能找出一些更深层的联系。模型论可能是建立某种关于模型的一般理论的基础。它与同态的关系,是一个饶有兴趣,可能还有待澄清的课题。

引言

现今,模型这一概念的重要性和普及性正在日趋增长。除了科学、教育和传统的工程领域,诸如软件开发领域,近十年对模型的重视也有空前的提升。随着计算机技术的普及和应用,模型的重要性前所未有地提升。例如本论坛关注的另一个重要领域,企业(或业务)建模的领域,也是在这样的背景之下。

在《模型(model)概念的一些近义或相关语汇》中,我从词义的角度讨论了“”(models)的一些近义或相关词汇。一些近义词,例如“模子”(mould)、模特、型号、典型(archetype),本身就可以理解为某一类的模型。但多数常见和基本的模型分类,并未明确地包含在这些近义中,有许多相当不同的事物,被人们称为模型。虽然其中有一些看似相差甚远,但我们希望找到一些线索和理由,最终理解它们为什么都被称为模型。

比例模型或实物模型

从日常生活和学习的角度看,最常见的模型,是“比例模型”(scale models)或实物模型。它们是一些按原物比例缩小(或放大)物体。例如,各式的建筑模型、飞机模型、汽车模型、沙盘模型、生物器官模型、分子或晶体结构模型等。看起来,这一类模型似乎十分明确、易于识别,但也不难发现一些令人困惑例子。例如:

  • 用于展示衣饰的塑料人型,无疑是一种模型。当其换为真人——在汉语里就不叫模型,而有另一个专门名词“模特”,在英文中,则就是“model”。人本身作为模型,当然足以自立一类,但从模型分类的立场看,似乎有理由将模特看作一种比例模型或实物模型。这个例子,对于理解“什么是模型”,将很有启发性。
  • 诸如化学课上展示的木制酒精分子模型,地理课上的地球仪,是常见的比例模型例子。其中一个是放大的,一个是缩小的。但对形式上与分子模型很相似的木制“电子云模型”,或原子构成模型,它们到底是一种理论或数学模型,还是实物比例模型呢?
  • 图画或图像。这将是对模型反复讨论的话题。有人将其归入物理模型,也有人强调比例模型通常是三维的。许多的图画/像是某种三维物体在二维空间的投影。而所谓三维的实物模型,同样是一种投影,只不过投影到三维空间之上。用具体例子来说,作为模型,一幅地形图和一个地形的沙盘的差别也许并不是那么大,它们甚至可以无缝地结合在一起。

物理模型与数学模型

“物理模型”(physical models)和“数学模型”(mathematical models)是科学研究领域常见的模型划分,也是学术研究中讨论模型概念时,最重视的基本类型。

对物理模型最基本的理解,是物质的实体,与其目标实体具有某种相似性。相似性和“成比例”,虽然有关系,亦有不同。将前面所说的比例模型,归入物理模型,似乎异议不大,但反过来,若说所有的物理模型都与其目标物具有某种比例关系,就不那么容易判断了。

  • 图画仍然是麻烦的来源。图画包含与描述对象的相似性,这无需置疑,但它可以被复制到各种不同的介质上,其存在似乎不能说是“实物”或物质的——也可能被理解为某种形式化的(类似语言的)表达,或一种数据(例如计算机图形)。对认为图画/像(例如照片)是一种物理模型的人,需要回答,如果它本身不呈现为特定的“物质”(例如,可以用不同的油墨,印在不同的纸张、或各种材质的平面材料上),那么所谓“物理的”含义到底是什么?还有一些图画,它所表示的对性就是一些抽象的概念。这与“物理的”也十分矛盾。
  • 对物理模型,还有一种与“复制”和“相似”有关的疑问:有种意见将复制物看作物理模型的一种。例如在英文中,产品的“型号”就是model,这并非假借的使用,许多对模型的学术性讨论,都把“型号”意义的model作为模型的一种基本类型,例如汽车型号:它的意义就在于可以有大量等同的复制物。但这涉及到“名”与“实”的区别问题。如果说“型号”是模型,则这个模型的实体是什么?是其“设计”,还是这个型号产品的全体呢。在对模型概念进行仔细分析之后,我倾向于将“复制物”小心地从“模型”概念中排除,即,需要区分重复的“实例”与相似的“模型”。
  • 与上述“名与实”的问题相关的另一种典型例子,是“模子”(mould)和用模子作出的实物:例如一尊弥勒佛的石膏模,和用这个模子复制出的许多“一样的”塑像。我们说,“模型”指的应该是石膏模,它作为模型所表达的对象是一种塑像,名称是“弥勒佛像”——弥勒佛像并不是这个模型的名称。将这个例子与“型号”的例子相比,就更容易理解,为何我质疑产品型号(比如:解放牌汽车的第一个型号CA-10)是“模型”的用法。

数学模型,也许可以比喻为科学殿堂上的皇后。数学模型的基本形式是方程式。如果仅仅在这个意义下解释,这个概念似乎相当明确,没有什么暧昧之处。但从“数学的”意义上稍加延伸,就会出现一些问题。例如:

  • 数理逻辑中有模型(models)概念,并且有专门的分支模型论(Model Theory),而数理逻辑的模型,却与我们通常所说的“数学模型”截然不同(甚至可以说,是对立的)。从数理逻辑()的立场上,前面所说的数学模型(方程式),属于“理论”。
  • 在许多场合数学模型本身就常常被视为“理论”的代名词。因此,除了要区别于模型论中的“理论”、“模型”概念外,日常语言(包括科学领域的一般叙述)中所谓“理论”或“理论模型”的含义,与数学模型既有区别,也密切相关甚至具有重叠的意义(见下面讨论)。

数理逻辑的模型与理论、理论模型

在数理逻辑分支“模型论”(Model Theory)中,将形式语言的陈述(句子集合)称为“理论”(theory),而该理论的模型(model),是一种数学结构(structure),它能够“解释”(interpret)理论中的句子,令它们都成立。换言之,模型论中的模型,是满足其理论的解释,是一种数学结构。这个“解释”(interpretation),也就是中文所说方程式的“解”。例如:对于理论 “x + y = 1”,{1,  0}, {0.2, 0.8 }, {-1, 2} 等等,都是其解,也就是其模型。

数理逻辑模型的概念与一般意义的“数学模型”、“理论模型”的区别,并不应看作一种偶然的用语巧合或引申使用造成的矛盾。在更广泛的意义上考察模型及其使用之后,我认为,模型论无疑是关于模型的一般性理论最重要的数学基础之一。一些近期的研究(例如在本体、语义网领域的一些研究)也可以发现一些端倪。

也许在许多研究者心目中,数学模型是精确、严格的数学语言的运用。但透过模型论,我们可以理解到,e=mc2这样纯数学表达,与“张三今年30岁”这样的自然语言陈述相同的一面。它们都是一个语言上的陈述,其意义(是否成立),可以通过对应的结构(模型论模型)加以解释。

前面提到,在科学领域常所说的“数学模型”(表现为方程式)和“理论模型”,既有联系也有区别。其中的困惑之一,就在于一个“理论”到底意味着什么?许多情况下,科学家可能会强调,精确的理论,就是数学描述,此时,说“理论模型”,基本等同于“数学模型”,但也有很多理论,未必呈现为“方程式”,或者,除了方程式,相关的语言陈述也是不可省略的。更典型的,一种理论,不但需要有某些语言的陈述、方程式,还需要某种“想象的图景”——这样的情形,在理论物理学领域司空见惯。

从模型论的立场上,可以这样说明:一般科学领域所说的模型,至少有两种基本类型,一种是数学陈述,它们在模型论中属于“理论”。一种是某种特定的结构,它们在模型论中,属于理论的解释,是“结构/模型”。同时,在一般科学领域,这两种模型,又都可以称为理论(或理论的组成部分)。换言之,科学领域常用的词语“模型”、“理论”,都是相对意义上的,视其具体对象而定。二者的对应关系,则都可以基于模型论中的“理论-模型”对应关系来理解。例如前面“电子云”的例子:所谓电子云,实际上就是对量子力学关于电子在原子核周围分布概率的“解”的形象称谓,并且常常被具体的画出来。从模型论立场看,电子密度分布函数是“理论”,电子云是其解,即模型,是一种结构。当我们笼统地将“电子云”称为一种理论模型时,既包括其数学描述(方程式),也可包括这个数学描述的解。在宏观领域,“黑洞”是与此相似的例子。

图画或图像作为模型

许多对模型的分类,都把各种“图画”或“图像”归为模型的一个基本类别(这里是泛指各种图画、图像、图形等等,英文中,有pictures, drawiings, paintings, graphics等等)。作为模型,就和种种“图画”的近义语一样麻烦。

  • 前面已经提到,图画与三维比例模型或物理模型的关系,还有电子云的图(或三维模型),实际上是数学方程式的解。图可以很具体、直观,例如一张照片、一幅太阳的图等等;也可以很抽象,例如认知结构三角模型图、软件系统架构图等。对于数学意义的“图”(graphics),一方面我们可以用其它的数学语言,将图表达为一组方程式;另一方面,也可以直观地对应着某种物理的结构,比如某个区域上的铁路和车站。
  • 计算机的三维模型(3-D模型)是最常用和有趣的技术之一,籍此可以绘出复杂建筑的图像,而且呈现为一种动态的、可多方位观察的相当真实的连续图景。从模型的角度解读,这里有很多耐人寻味的话题,例如,我们所说的3-D模型,到底是呈现在屏幕上的影像,还是储存在磁盘上的一些特定格式的数据?
  • 正在日益受到重视的“业务流程建模”,包括更大范围上的,所谓“企业模型”,通常都倾向于以图解为主。这种图,无疑是一种抽象表达。作为图形,流程图它可以和某个电路系统很相似。甚至我们可以设计一个电路系统,来模拟一个业务流程系统。这种相似性意味着什么?与我们所关心的“模型”的种种性质和用途有什么关系?这都是很有意思的话题。

描述性模型或语言性模型

描述性模型(descriptive models)这种说法常被提到,在不同的场合,其所指可能有非常大的差别,关键就在于什么是“描述”。这涉及了对模型的一种基本理解,即它是对目标物构成某种描述。

  • 把描述看作一种客观的记述,那么照片、一段文字,都可以是一种描述,这样延伸起来,三维的比例模型也可以看作一种描述。有这样的问题:假如两个形式内容几乎一样的模型,其中一个的对象从来都不存在,那么这个模型就不是描述的吗?按照这个趋势,会发现,“描述”无所不是。描述的这种泛化可与“语言概念”的泛化对应,语言一词有时被用于概括几乎所有的表达手段。我认为,至少在模型这个话题下,这种泛化的使用是应该回避的。
  • 相关的另一种理解,则将“描述的”与“规定的”(specific)对应起来使用,区分描述的和规定的模型,但规定本身就可以呈现为一些描述。
  • 对描述一种相对较窄的理解,与“语言的”(linguistic,为区别于语言的“元模型”,可称为“语言性”模型,无疑它表现为一些语言陈述)联系起来,这种理解,则把“图画”等排除在外,并且我们自然会将其联系到模型论的句子集合——“理论”。
  • 作为一种类型,所谓描述的模型,是相当含糊的。所谓“语言的”模型,相对清楚一些,但也取决于对“语言”的理解,例如现在流行的种种“图形建模语言”,就带来这个困惑。它们到底只是一种“图形标记法”,还是一种“语言”呢?
  • 此外,即使将描述限于“语言使用”,这样的“描述性模型”仍然可以相当宽泛,例如,几乎任何一段文字描述(语言文本)都可能被看作模型。

同态模型

一些关于模型的定义,运用了“”(homomorphism)映射这一数学概念。有人把具有同态对应的模型,直接称为“同态模型”。这种思路应该说源于模型讨论中的另一种更普遍的思路,即“相似性”。从数学应用的角度,以同态作为相似性的数学模型(或解释),似乎已经普遍接受。作为模型的研究,我们特别有兴趣的一个地方,是同态与模型论的关系。关于这个课题,在《认知结构三角模型及映像、模型与理论概念》中有初步的涉及。

其它模型

本文并没有试图对现有的模型的分类进行汇总——这个工作,实际上相当庞大。选取讨论的几种模型,也未必都是最有代表性或最重要的。许多重要的模型类型未有提及。例如“计算机模型”:这是个含糊的说法,可包括各种基于计算机储存、显示的模型,计算机可处理的模型、对计算机系统或对象建立的模型、对计算机所处理的问题建立的模型、处理问题的方法/算法模型等等。一种看来相当明显的趋势就是,计算机技术的出现,使模型的重要性和作用空前提升。这不仅仅是一种模型的表达方式、支持技术或使用领域的扩展,这背后有着深远的理论乃至哲学内涵。

结语

许多学者都认为,“模型”在科学、哲学等领域是相当重要的概念,但同时它也相当暧昧,人们对模型的认识,还存在诸多空白。人们迄今并没有关于模型的,公认的一般性理论体系。甚至还没有普遍接受的、明确的分类。

本文选取了一些常见或典型的模型类型加以简单讨论。通过这些简单分析可以看到,“模型”一词在不同的语境之中,有着相当不同的含义。不同的分类,常常相互重叠甚至矛盾。在对多种多样的模型的观察、讨论中,我们发现,模型论的模型概念,虽然与日常习惯中的模型概念有很大不同,但它可能是认识、理解一般模型,将各种各样不同的模型联系起来的基础。而相关的另一个重要的数学基础,同态,在“模型”的应用上与模型论的关系,将是一个非常有趣,可能还有待澄清的课题。这个课题需要相当的数学基础,很希望能得到相关数学领域学者关注,与感兴趣的朋友共同探讨。

有可能在各种不同语境中相当不同的模型概念之上,提炼出一些更加基本的东西,譬如关于什么是模型更一般的理解与界定。

在实际应用和讨论的经验中发现,对模型概念的习惯或狭隘理解,常常阻碍对模型应用或建模问题的认识。本文的讨论,也许能对此有所帮助,并作为日后导入一般性模型概念的一个引子。

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4 Comments

  1. 从模型论的立场上,可以这样说明:一般科学领域所说的模型,至少有两种基本类型,一种是数学陈述,它们在模型论中属于“理论”。一种是某种特定的结构,它们在模型论中,属于理论的解释,是“结构/模型”。

    从数学应用的角度,以同态作为相似性的数学模型(或解释),似乎已经普遍接受。作为模型的研究,我们特别有兴趣的一个地方,是同态与模型论的关系。

    =========================================================
    这的确是我们一个思考的关键点。
    正如余兄所言:相似性是我们日常的说法,用比较严格的数学语言来说就是同态。
    而所谓的形式化表达,就是一种对相似性的表达,或者同态的表达。
    同态表达超越了符号表达,它说明了两个看似不同具有不同语义含义的符号系统它们从形式角度看是相似的。
    为了精确表达出同态的形式化含义,所以采用了量词表达技术,因此超越了特定的符号标识,达到了一种普遍性(形式化)的表达,把它变成了量词对个体域的约束限定。
    那么,什么是同态的模型呢,这恰恰就是拓扑关系,是同态的模型论意义的(指称)模型。
    比如在拓扑学中的同胚,同伦等等。再如,业务流程的顺序、分支、并发和循环就是对业务流程的形式化表达。

    也许这就能回答老余的下面这段话:
    这种相似性意味着什么?与我们所关心的“模型”的种种性质和用途有什么关系?这都是很有意思的话题。

    余兄在2004年12月10日给我的信中谈到:
    拓扑学就是处理离散空间上的关系的,我没学习过点集拓扑之前,脑子中装满了莫比乌斯变换之类的俱像,所以没法将拓扑学和集合论联系起来,但我是凭借着拓扑学是处理结构的“终极方法”这一坚定的理念,认定它对信息结构化表达是有意义的,从而去学习、探索(从而在网上发现了毕家祥,他1970年代就在构造这种理论了)。我理解了离散空间和拓扑的关系,感觉是别有洞天,思维上了一个新的台阶。

    如果把拓扑关系看成同态的指称模型,那么就可以知道它是一种结构的形式化表达。我在《表达的探究》中论述过:信息是对差异(结构)最一般的表达。所以拓扑关系是信息结构化的表达也就顺理成章了。

  2. 这些天都没上网,没有及时看到yushan的评论。

    你所说“拓扑关系”到底是什么,我不很确定。

    还有“量词”与同态的关系。我对量词的理解不是很深,十分乐闻其详

  3. 太专业了 看不懂

  4. 作者补记:

    本文和《模型(model)概念的一些近义或相关语汇》),属于本人最看重的一些工作的基础性、引导性话题。上面的一些讨论看似简单,却涉及不少长期思考的东西,隐含着很多“下文”。在此发布的基本目的,是希望籍此与相关领域上深入思考研究的朋友交流,做个引子,所谓抛砖引玉。(相关的重要文章还有《认知结构三角模型及映像、模型与理论概念》

    我特别希望与数理逻辑、集合论、抽象代数特别是模型论等领域有造诣的朋友合作,可以做几个非常有趣的课题,共同发表。看似纯理论(甚至是数学理论的)研究,却与IT应用发展最前沿有直接的联系,应当是很难得的切入点吧。

    随时欢迎有心的朋友通过论坛或电子邮件与我联系。(可以先在本论坛研讨厅进行公开或内部的讨论)

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