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阿尔弗雷德·塔斯基(三则)

Author: TY,  Source: 企业工程论坛,  Published: 2016-07-01

Excerpt: 塔斯基曾经描述自己是“一名数学家(以及逻辑学家,或许还算某种哲学家)” 斯坦福哲学百科上形容他是广泛承认的二十世纪也是有史以来最伟大的逻辑学家之一。 他正是那种用逻辑与数学的铲子铲动哲学根基的人;不是哲学家,胜似哲学家。

(一)我看到的一点塔斯基

 

AlfredTarski1968若干年前只是依稀地听闻过塔斯基的名字,和“真”(truth)定义联系着。引起我个人兴趣的是,涉及到诸如逻辑系统的理解和应用、意义或语义问题、形式化的本质问题、表达,特别是模型概念等的一些思考,似乎都与塔斯基的一些经典工作有所联系。对这些线索的探索将我带到了塔斯基这位人类知识进化道路上的巨匠附件。

塔斯基曾经描述自己是“一名数学家(以及逻辑学家,或许还算某种哲学家)。”

作为数学家,他的论文达到2500多页。(当然,论文数量也可能啥也不是。见过天朝院士一年发表一百多篇国际论文的神绩,老塔见了也只能说“佩服,佩服?”)维基百科有一个页面“List of things named after Alfred Tarski”,列出了二十多条以塔斯基命名的定理、悖论、公理、分支等等(不知道全不全)。这每一个命名基本上意味着相应的成果已公认为知识体系里不可或缺的独特部分。他是模型论、非标准分析、关系代数等的开创或奠基人。

斯坦福哲学百科上形容塔斯基是“广泛承认的二十世纪最伟大的逻辑学家之一(常被认为仅次于哥德尔),也是有史以来最伟大的逻辑学家之一。” 看到一些介绍说,虽然塔斯基的工作虽然在哲学领域有深刻的影响(例如在真理和意义理论方面),他本人却从未正式发表过哲学论述,他的学术著作全部是严谨的数学与逻辑学的论述。联系到自己对哲学的一些看法,我发现塔斯基正是那种用逻辑与数学的铲子铲哲学的根基——从而促成其进步——的巨人。另一方面,有一种观点认为,与例如歌德尔相比,塔斯基的一些工作(例如他的不可定义定理)的意义并没有受到足够的重视(我个人目前也比较赞同这种观点)。

在逻辑领域塔斯基最重要的贡献可能就是所谓真理定义了。我理解,塔斯基实际上是将亚里士多德的真理定义充分形式化了:将其中能够形式化的部分纳入(同时是拓展)了现代数理逻辑,并进一步连接、开拓了模型论,奠定了所谓模型论真理、逻辑结论、形式语义学等。然而,我感觉,这些工作很明确地体现在形式系统即逻辑和数学领域,将自亚里士多德的直觉的、形而上学的有关真理的哲学,铲掉了一部分——也就是说,将一些东西从哲学或形而上学的掩盖下发掘出来,成为了逻辑与数学的一部分——然而,还没有彻底解决这个话题。例如,围绕着塔斯基的理念是不是如他自己所说属于符合论真理理论(Correspondence theory of truth)就有许多未决的争论。在我看来,这是一个无限接近“哲学”根茎的地方,需要拿着逻辑与数学的铲子继续猛铲——这件事,在塔斯基等活跃的时代(1930-1950左右)似乎并未完成,因为“分心”的东西很多,例如信息/计算机科学的崛起。而塔斯基所开拓的一些方向性或基础性的东西,可能还没有真正或充分发扬。

塔斯基和哥德尔的“关系”也许是一段很有意思的历史。他们在学术活跃时期同时生活在美国,也有过一些直接的接触,饶是如此他们对彼此成就的态度就更加耐人寻味。他们可能同时各自独立完成了相关的(部分是重叠)重要工作。有不少文献讨论他们工作之间关联、关系。

塔斯基指导的二十多名博士大都成为了杰出的数学与逻辑学家,其中不乏大鱼(具体参见维基百科的列举),并且还直接影响了稍后的若干大人物和它们的重要贡献。我最感兴趣的人之一,就是卡尔纳普。卡尔纳普的早期代表作《世界的逻辑结构》1928年发表,我个人感受,其中许多东西,与塔斯基的探索,有着深刻的关系。实际上,他们确实在那个年代相遇了(至少从1930年塔斯基访问维也纳的时候开始),卡尔纳普相当推崇塔斯基的工作,后者直接激励了卡尔纳普开展语义学方面的研究,随后的一系列重要工作中,都有塔斯基的的影子。

参考
on Wikipedia,
http://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Alfred_Tarski

on Stanford Encyclopedia of Philosophy,
http://plato.stanford.edu/entries/tarski/
http://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/

题头图取自Wikimedia Commons,采用GNU Free Documentation License.

原发:https://www.douban.com/note/496031686/

 

(二)亚里士多德的真与塔斯基的真

亚里士多德形而上学关于“真”与“假”的经典陈述如下:

To say of what is that it is not, or of what is not that it is, is false, while to say of what is that it is, or of what is not that it is not, is true.

直白地翻译就是:

把是什么说成不是,不是什么说成是,就是假;把是什么说成是,不是什么说成不是,就是真。

看上去有点啰嗦,但省略掉例如“什么”和“说”,看起来很酷,实际上可能丧失了一些微妙的意味,例如网上有这样的翻译:

非而是,是而非,为非;是而是,非而非,为是。

表面上看简洁老到,但有问题:不分 it is 与 true, it is not 与 false,作为一个界定,这样的行文就在同义反复,形式上就已经病了。而“说” (to say)意味着所谈论的“真”与“假”概念的范围是在语言陈述之中。这个范围很重要。

我更感兴趣的是塔斯基的真定义(参见斯坦福哲学百科全书条目[1])。

他的 T约定 这样陈述语言L中句子为真的条件:

An adequate theory of truth for L must imply, for each sentence φ of L ‘φ’ is true if and only if φ.

转换成一个中文句子实例就是:

“雪是白的”为真,当且仅当雪是白的。

这是语言L的句子为真的条件。看上去似乎有点“无聊”?这是极难参透的东西。前面的引号,意味着在谈论那个句子,后面的陈述说明事实。我认为这与亚里士多德的形而上学真定义是一致的;塔斯基首先将其最大限度地形式化了。如果仅止于此,这个定义的意义似乎是一种技术性的改进,主要贡献在形式逻辑上。一些塔斯基工作的批评者认为塔斯基在此没有贡献什么实质性东西,似乎也与此有某种关联。
然而,前半部分句子为真的形式化条件的提出,仅仅是一个开始。真正令我感兴趣的东西在随后的部分:

Where L is a fixed language whose sentences are fully interpreted.

其中,L是一个固定的语言,其中的句子是完全解释了的。

这里的“解释”,是模型论意义上的解释——这是后话,因为塔斯基的真定义工作正是后来模型论创立的先导。

前一部分的定义需要两个语言系统,即用一种语言(元语言)去讨论另一种语言的语义问题(例如,关于其句子是否为真)。这暗示一个封闭的逻辑系统本身只能自洽,解决形式系统内部的真伪问题,即形式正确;而不能最终解决真/伪问题,即在形式系统之外的意义(我认为这才是塔斯基所说“实质性充分”的意义所在)。坚持形式化的方法,一个语言的语义问题(如句子之真/伪)只能用另一种语言去谈论。但语言陈述的意义常常在其本身的形式(系统)之外——例如,在现实世界中的真伪。塔斯基的真定义对于语言L必须是充分解释了的要求,暗示语言系统之外的意义的建立,需要通过“解释”——“模型”来实现(至此,“解释”和“模型”仍然保留着严格的数理逻辑意义)。

我们常常需要搞清一些陈述在现实世界是否成立。最基本的途径就是通过某种度量得到关于现实世界的数据。数据对于现实世界的确定意义,取决于我们的度量方法 ,及度量方法的可重复性、精确性。这些数据作为符号,映射到一个逻辑系统。如果这个映射是有意义的,则在这个逻辑系统中的各种(符合逻辑的)陈述,都能与数据另一端的原始意义保持吻合。这是我所理解的,塔斯基的真定义背后隐含的意义——最伟大的价值所在。

然而,不知为什么,自塔斯基最初的真定义之后的研究,例如模型论的创立与发展、模型论语义学的发展等,却一直忽略解释/模型在形式系统之外的意义或称“另一端的意义”这个方面,囿于(并且陶醉于)纯数学/形式化方面的发展。塔斯基伟大贡献的价值,看来迄今仍然是打了折扣的。

[1] Wilfrid Hodges, 2001 – 2014, http://plato.stanford.edu/entries/tarski-truth/

整理自原始文章:

https://www.douban.com/note/355030789/

https://www.douban.com/note/463134096/

 

(三)数学大还是逻辑大?塔斯基说:随你!

数学是逻辑的一部分还是相反?这是个有意思的话题。

逻辑学家大概喜欢说数学只不过是逻辑的一部分。罗素与怀特海的《数学原理》就是做这个的。但是这难免会令一些数学家不爽。

看到塔斯基对这个问题的解答,感觉很简洁和优雅。1966年5月塔尔斯基在伦敦大学贝德福德学院的演讲,题目是“什么是逻辑概念?”柯可兰整理了这个演讲稿,在塔斯基去世后第三年,发表在《逻辑史和逻辑哲学》1986年第7卷。

塔斯基首先对什么是一个逻辑的概念提出了一个方案:“称一个概念是 “逻辑的”,如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变。” 其中,“世界”也可代换为“论域”。

这个方案(也就是术语“逻辑概念”的界定)的合理性在哪里?一个有力的回答是,《数学原理》中定义的概念都符合这个提议。这里,塔斯基呈现了一个似乎并不难理解的简洁而优雅的说明,在上述建议的意义下,

  1. 在个体层次上不存在逻辑概念;
  2. 在个体类中,恰有两个逻辑概念(全域类和空类);
  3. 二元关系只有四个逻辑概念(n元关系有少量有穷多个);
  4. 类的类(类的性质):仅与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念。

进一步,类之间的关系:类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系,都符合上述“逻辑概念”的定义,并且也都是通常意义上的逻辑概念。

换言之,在域的所有一一变换中保持不变的这一性质,正是一直以来人们认为是逻辑概念的那些对象背后的基本性质。

再此基础上,塔斯基通过对“数学概念是否都是逻辑概念”的讨论,来引出“数学是否逻辑的一部分”的答案。

“众所周知,全部数学可以在集合论或类理论中构造,因此,上述问题可以归约为如下问题:集合论的概念是否都是逻辑概念?我们又知道,所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义,即归属概念或属于关系的概念,因此我们的问题的最后一种形式是:属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念?”

(惊叹:一个看似玄而又玄的问题,就归结于“属于关系”的定义方法这么一个“小”问题上!)

答案是——取决于怎样构造集合论。用“类型方法”(《数学原理》的方法),集合论就是逻辑的一部分。用“一阶方法”(策梅洛、冯·诺依曼和贝奈斯等人的方法),其中“没有类型分层,只有一个论域,个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念”,这样,数学概念就不属于上述意义的逻辑概念。

我觉着,塔斯基内心里大概也是喜欢前一种方式的,只是碍着数学家的“面子问题”。把“属于关系”当作直接引进的也无所谓啊——反正这背后的道理已经是清楚了,就好象坐船过河,还是走桥过河,只是一个局部的技术性选择,可以“随你所愿”。

参考:A. 塔斯基《什么是逻辑概念?》刘新文/译,《世界哲学》2014年3期
在线版本:http://www.philosophy.org.cn/Subject_info.aspx?n=20150304161520190030

原发:https://www.douban.com/group/topic/75075773/

 

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